數(shù)學本質特征的若干認識

關于數(shù)學本質特征的若干認識

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　　什么是數(shù)學?這是任何一個數(shù)學教育工作者都應認真思考的問題。只有對數(shù)學的本質特征有比較清晰的認識，才能在數(shù)學教育研究中把握正確的方向。

　　1、數(shù)學，其英文是mathematics，這是一個復數(shù)名詞，“數(shù)學曾經是四門學科：算術、幾何、天文學和音樂，處于一種比語法、修辭和辯證法這三門學科更高的地位。”自古以來，多數(shù)人把數(shù)學看成是一種知識體系，是經過嚴密的邏輯推理而形成的系統(tǒng)化的理論知識總和，它既反映了人們對“現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系”的認識，又反映了人們對“可能的量的關系和形式”的認識。數(shù)學既可以來自現(xiàn)實世界的直接抽象，也可以來自人類思維的能動創(chuàng)造。

　　2、從人類社會的發(fā)展史看，人們對數(shù)學本質特征的認識在不斷變化和深化。“數(shù)學的根源在于普通的常識，最顯著的例子是非負整數(shù)。"歐幾里德的算術來源于普通常識中的非負整數(shù)，而且直到19世紀中葉，對于數(shù)的科學探索還停留在普通的常識，”另一個例子是幾何中的相似性，“在個體發(fā)展中幾何學甚至先于算術”，其“最早的征兆之一是相似性的知識，”相似性知識被發(fā)現(xiàn)得如此之早，“就象是大生的。”因此，19世紀以前，人們普遍認為數(shù)學是一門自然科學、經驗科學，因為那時的數(shù)學與現(xiàn)實之間的聯(lián)系非常密切，隨著數(shù)學研究的不斷深入，從19世紀中葉以后，數(shù)學是一門演繹科學的觀點逐漸占據(jù)主導地位，這種觀點在布爾巴基學派的研究中得到發(fā)展，他們認為數(shù)學是研究結構的科學，一切數(shù)學都建立在代數(shù)結構、序結構和拓撲結構這三種母結構之上。與這種觀點相對應，從古希臘的柏拉圖開始，許多人認為數(shù)學是研究模式的學問，數(shù)學家懷特海(A. N. Whiiehead，186----1947)在《數(shù)學與善》中說，“數(shù)學的本質特征就是：在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行研究，”數(shù)學對于理解模式和分析模式之間的關系，是最強有力的技術。”1931年，歌德爾(K，G0de1，1978)不完全性定理的證明，宣告了公理化邏輯演繹系統(tǒng)中存在的缺憾，這樣，人們又想到了數(shù)學是經驗科學的觀點，著名數(shù)學家馮·諾伊曼就認為，數(shù)學兼有演繹科學和經驗科學兩種特性。

　　3、對于上述關于數(shù)學本質特征的看法，我們應當以歷史的眼光來分析，實際上，對數(shù)本質特征的認識是隨數(shù)學的發(fā)展而發(fā)展的。由于數(shù)學源于分配物品、計算時間、丈量土地和容積等實踐，因而這時的數(shù)學對象(作為抽象思維的產物)與客觀實在是非常接近的，人們能夠很容易地找到數(shù)學概念的現(xiàn)實原型，這樣，人們自然地認為數(shù)學是一種經驗科學;隨著數(shù)學研究的深入，非歐幾何、抽象代數(shù)和集合論等的產生，特別是現(xiàn)代數(shù)學向抽象、多元、高維發(fā)展，人們的注意力集中在這些抽象對象上，數(shù)學與現(xiàn)實之間的距離越來越遠，而且數(shù)學證明(作為一種演繹推理)在數(shù)學研究中占據(jù)了重要地位，因此，出現(xiàn)了認為數(shù)學是人類思維的自由創(chuàng)造物，是研究量的關系的科學，是研究抽象結構的理論，是關于模式的學問，等等觀點。這些認識，既反映了人們對數(shù)學理解的深化，也是人們從不同側面對數(shù)學進行認識的結果。正如有人所說的，“恩格斯的關于數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關系和空間形式的提法與布爾巴基的結構觀點是不矛盾的，前者反映了數(shù)學的來源，后者反映了現(xiàn)代數(shù)學的水平，現(xiàn)代數(shù)學是一座由一系列抽象結構建成的大廈。”而關于數(shù)學是研究模式的學問的說法，則是從數(shù)學的抽象過程和抽象水平的角度對數(shù)學本質特征的闡釋，另外，從思想根源上來看，人們之所以把數(shù)學看成是演繹科學、研究結構的科學，是基于人類對數(shù)學推理的必然性、準確性的那種與生俱來的信念，是對人類自身理性的能力、根源和力量的信心的集中體現(xiàn)，因此人們認為，發(fā)展數(shù)學理論的這套方法，即從不證自明的公理出發(fā)進行演繹推理，是絕對可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演繹出來的結論也一定是真的，通過應用這些看起來清晰、正確、完美的邏輯，數(shù)學家們得出的結論顯然是毋庸置疑的、無可辯駁的。

　　4、事實上，上述對數(shù)學本質特征的認識是從數(shù)學的來源、存在方式、抽象水平等方面進行的，并且主要是從數(shù)學研究的結果來看數(shù)學的本質特征的。顯然，結果(作為一種理論的演繹體系)并不能反映數(shù)學的全貌，組成數(shù)學整體的另一個非常重要的方面是數(shù)學研究的過程，而且從總體上來說，數(shù)學是一個動態(tài)的過程，是一個“思維的實驗過程”，是數(shù)學真理的抽象概括過程。邏輯演繹體系則是這個過程的一種自然結果。在數(shù)學研究的過程中，數(shù)學對象的豐富、生動且富于變化的一面才得以充分展示。波利亞(G. Poliva，1888一1985)認為，“數(shù)學有兩個側面，它是歐幾里德式的嚴謹科學，但也是別的什么東西。由歐幾里德方法提出來的數(shù)學看來象是一門系統(tǒng)的演繹科學，但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學看來卻像是一門實驗性的歸納科學。”弗賴登塔爾說，“數(shù)學是一種相當特殊的活動，這種觀點“是區(qū)別于數(shù)學作為印在書上和銘，記在腦子里的東西。”他認為，數(shù)學家或者數(shù)學教科書喜歡把數(shù)學表示成“一種組織得很好的狀態(tài)，”也即“數(shù)學的形式”是數(shù)學家將數(shù)學(活動)內容經過自己的組織(活動)而形成的;但對大多數(shù)人來說，他們是把數(shù)學當成一種工具，他們不能沒有數(shù)學是因為他們需要應用數(shù)學，這就是，對于大眾來說，是要通過數(shù)學的形式來學習數(shù)學的內容，從而學會相應的(應用數(shù)學的)活動。這大概就是弗賴登塔爾所說的“數(shù)學是在內容和形式的互相影響之中的一種發(fā)現(xiàn)和組織的活動” 的含義。菲茨拜因(Efraim Fischbein)說，“數(shù)學家的理想是要獲得嚴謹?shù)摹�條理清楚的、具有邏輯結構的知識實體，這一事實并不排除必須將數(shù)學看成是個創(chuàng)造性過程：數(shù)學本質上是人類活動，數(shù)學是由人類發(fā)明的，”數(shù)學活動由形式的、算法的與直覺的等三個基本成分之間的相互作用構成。庫朗和羅賓遜(Courani Robbins)也說，“數(shù)學是人類意志的表達，反映積極的意愿、深思熟慮的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是邏輯與直覺、分析與構造、一般性與個別性。雖然不同的傳統(tǒng)可能強調不同的側面，但只有這些對立勢力的相互作用，以及為它們的綜合所作的奮斗，才構成數(shù)學科學的生命、效用與高度的價值。”

　　5、另外，對數(shù)學還有一些更加廣義的理解。如，有人認為，“數(shù)學是一種文化體系”，“數(shù)學是一種語言”，數(shù)學活動是社會性的，它是在人類文明發(fā)展的歷史進程中，人類認識自然、適應和改造自然、完善自我與社會的一種高度智慧的結晶。數(shù)學對人類的思維方式產生了關鍵性的影響.也有人認為，數(shù)學是一門藝術，“和把數(shù)學看作一門學科相比，我?guī)缀醺�喜歡把它看作一門藝術，因為數(shù)學家在理性世界指導下(雖然不是控制下)所表現(xiàn)出的經久的創(chuàng)造性活動，具有和藝術家的，例如畫家的活動相似之處，這是真實的而并非臆造的。數(shù)學家的嚴格的演繹推理在這里可以比作專門注技巧。就像一個人若不具備一定量的技能就不能成為畫家一樣，不具備一定水平的精確推理能力就不能成為數(shù)學家，這些品質是最基本的，……，它與其它一些要微妙得多的品質共同構成一個優(yōu)秀的藝術家或優(yōu)秀的數(shù)學家的素質，其中最主要的一條在兩種情況下都是想象力。”“數(shù)學是推理的音樂，”而“音樂是形象的數(shù)學”.這是從數(shù)學研究的過程和數(shù)學家應具備的品質來論述數(shù)學的本質，還有人把數(shù)學看成是一種對待事物的基本態(tài)度和方法，一種精神和觀念，即數(shù)學精神、數(shù)學觀念和態(tài)度。尼斯(Mogens Niss)等在《社會中的數(shù)學》一文中認為，數(shù)學是一門學科，“在認識論的意義上它是一門科學，目標是要建立、描述和理解某些領域中的對象、現(xiàn)象、關系和機制等。如果這個領域是由我們通常認為的數(shù)學實體所構成的，數(shù)學就扮演著純粹科學的角色。在這種情況下，數(shù)學以內在的自我發(fā)展和自我理解為目標，獨立于外部世界，…，另一方面，如果所考慮的領域存在于數(shù)學之外，…，數(shù)學就起著用科學的作用…·，數(shù)學的這兩個側面之間的差異并非數(shù)學內容本身的問題，而是人們所關注的焦點不同。無論是純粹的還是應用的，作為科學的數(shù)學有助于產生知識和洞察力。數(shù)學也是一個工具、產品以及過程構成的系統(tǒng)，它有助于我們作出與掌握數(shù)學以外的實踐領域有關的決定和行動…·，數(shù)學是美學的一個領域，能為許多醉心其中的人們提供對美感、愉悅和激動的體驗…·，作為一門學科，數(shù)學的傳播和發(fā)展都要求它能被新一代的人們所掌握。數(shù)學的學習不會同時而自動地進行，需要靠人來傳授，所以，數(shù)學也是我們社會的教育體系中的一個教學科目.”

　　從上所述可以看出，人們是從數(shù)學內部(又從數(shù)學的內容、表現(xiàn)形式及研究過程等幾個角度)。數(shù)學與社會的關系、數(shù)學與其它學科的關系、數(shù)學與人的發(fā)展的關系等幾個方面來討論數(shù)學的性質的。它們都從一個側面反映了數(shù)學的本質特征，為我們全面認識數(shù)學的性質提供了一個視角。

　　6、基于對數(shù)學本質特征的上述認識，人們也從不同側面討論了數(shù)學的具體特點。比較普遍的觀點是，數(shù)學有抽象性、精確性和應用的廣泛性等特點，其中最本質的特點是抽象性。A，。亞歷山大洛夫說，“甚至對數(shù)學只有很膚淺的知識就能容易地覺察到數(shù)學的這些特點：第一是它的抽象性，第二是精確性，或者更好他說是邏輯的嚴格性以及它的結論的確定性，最后是它的應用的極端廣泛、性，”王粹坤說，“數(shù)學的特點是：內容的抽象性、應用的廣泛性、推理的嚴謹性和結論的明確必”這種看法主要從數(shù)學的內容、表現(xiàn)形式和數(shù)學的作用等方面來理解數(shù)學的特點，是數(shù)學特點的一個方面。另外，從數(shù)學研究的過程方面、數(shù)學與其它學科之間的關系方面來看，數(shù)學還有形象性、似真性、擬經驗性。“可證偽性”的特點。對數(shù)學特點的認識也是有時代特征的，例如，關于數(shù)學的嚴謹性，在各個數(shù)學歷史發(fā)展時期有不同的標準，從歐氏幾何到羅巴切夫斯基幾何再到希爾伯特公理體系，關于嚴謹性的評價標準有很大差異，尤其是哥德爾提出并證明了“不完備性定理… 以后，人們發(fā)現(xiàn)即使是公理化這一曾經被極度推崇的嚴謹?shù)目茖W方法也是有缺陷的。因此，數(shù)學的嚴謹性是在數(shù)學發(fā)展歷史中表現(xiàn)出來的，具有相對性。關于數(shù)學的似真性，波利亞在他的《數(shù)學與猜想》中指出，“數(shù)學被人看作是一門論證科學。然而這僅僅是它的一個方面，以最后確定的形式出現(xiàn)的定型的數(shù)學，好像是僅含證明的純論證性的材料，然而，數(shù)學的創(chuàng)造過程是與任何其它知識的創(chuàng)造過程一樣的，在證明一個數(shù)學定理之前，你先得猜測這個定理的內容，在你完全作出詳細證明之前，你先得推測證明的思路，你先得把觀察到的結果加以綜合然后加以類比.你得一次又一次地進行嘗試。數(shù)學家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明;但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現(xiàn)的。只要數(shù)學的學習過程稍能反映出數(shù)學的發(fā)明過程的話，那么就應當讓猜測、合情推理占有適當?shù)奈恢谩?rdquo;正是從這個角度，我們說數(shù)學的確定性是相對的，有條件的，對數(shù)學的形象性、似真性、擬經驗性。“可證偽性”特點的強調，實際上是突出了數(shù)學研究中觀察、實驗、分析。比較、類比、歸納、聯(lián)想等思維過程的重要性。

　　綜上所述，對數(shù)學本質特征的認識是發(fā)展的。變化的，用歷史的、發(fā)展的觀點來看待數(shù)學的本質特征，恩格斯的“純數(shù)學的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系”的論斷并不過時，對初等數(shù)學來說就更是如此，當然，對“空間形式和數(shù)量關系”的內涵，我們應當作適當?shù)耐卣购蜕罨�。順便指出，對�?shù)學本質特征的討論中，采取現(xiàn)象與本質并重、過程與結果并重、形式與內容并重的觀點：，對數(shù)學教學具有重要的指導意義。

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